Hur har man räknat ut pi
Talet π pi , även kallat Arkimedes konstant , är en matematisk konstant som representerar förhållandet mellan en cirkels omkrets och diameter. Dess värde är knappt 3, men då talet är irrationellt kan det aldrig skrivas ut exakt med siffror. Beteckningen π infördes troligen , från den första bokstaven i det grekiska ordet för omkrets, περιφέρεια periferi.
Gåtan med pi och den omöjliga kvadraten
De tidigaste kända uppskattningarna av π:s värde härstammar från tiden cirka två årtusenden f. Arkimedes överträffade cirka f. Betydande framsteg gjordes under nästföljande dryga år av arabiska , kinesiska och indiska matematiker, kulminerande cirka med Madhavas beräkning av 11 korrekta decimaler, överträffad av Ghiyath al-Kashis 16 några år senare.
Den tyske talsmatematikern Ludolph van Ceulen vigde större delen av sitt liv åt att beräkna π med Arkimedes metod; han lyckades bestämma talet med 35 decimaler och det har i äldre nederländsk litteratur kallats Ludolphs tal. Den matematiska analysen har gett upphov till serier och iterationer för π:s exakta värde som i princip gör det möjligt att beräkna talet med önskad precision.
Nytt Pi-rekord: I astronomiska sammanhang får det kanske effekt
Exempel är François Viètes formel från Gottfried Leibniz formel. Först att nå decimaler var John Machin , som använde den nu berömda Machins formel ,. Efter honom lyckades talets matematiker beräkna hundratals decimaler för hand. Sedan mitten av talet har datorer gjort det möjligt att beräkna tusentals, miljontals, miljardtals och biljontals decimaler av π. Den oändliga decimalutvecklingen har i sig fascinerat.
Trots att de första 50 decimalerna räcker för att beräkna det synliga universums omkrets med en noggrannhet av en atomkärnas storlek har det blivit något av en tävling i att beräkna π med så många decimaler som möjligt — det senaste rekordet ligger på 31,4 biljoner 31 stycken. I dagligt bruk avrundas π ofta till 3,14 [ 4 ] , även om decimalerna fortsätter i oändlighet utan att uppvisa någon regelbundenhet.
Det innebär att cirkelns geometriska egenskaper inte kan uttryckas exakt utan talet π och att cirkelns kvadratur är ett problem som inte har någon lösning.
Utöver dessa egenskaper är π intressant eftersom det dyker upp på många olika håll inom matematiken, somliga till synes helt utan koppling till det geometriska ursprunget. Talet har studerats av framstående matematiker under alla tider, men flera frågor är ännu ouppklarade. Beteckningen π, som härstammar från det grekiska ordet περιφέρεια periferi , valdes av William Jones för att beteckna talet och standardiserades samma århundrade genom Leonhard Euler.
SIS rekommenderar rak stil vilket beskrives i den svenska standarden SS 03 61 07 - Grafisk teknik — Sättningsregler — Matematik och kemi. Att π är irrationellt bevisades av Johann Heinrich Lambert. Dess transcendens bevisades av Ferdinand von Lindemann. Den mest gäckande ouppklarade frågan är huruvida π är normalt , det vill säga om alla siffror och sifferkombinationer, i alla baser , förekommer med samma sannolikhet som om talet vore helt "slumpmässigt".
Statistiska undersökningar av miljardtals siffror som beräknats med datorer pekar åt det hållet, men matematiska bevis saknas. David H. Bailey och Richard E. Crandall visade dock år att π är normalt i basen två om en trolig hypotes från kaosteorin är sann. Talet π är intimt förbundet med de komplexa talen , vilket följer av de trigonometriska funktionernas förekomst i Eulers formel för den komplexa exponentialfunktionen ,.
Ett specialfall är Eulers identitet ,. Vidare följer exempelvis av residysatsen för kurvintegraler att.
Träna på att memorera pi-decimaler
Andra oändliga serier är. Wallis produkt :. Heisenbergs osäkerhetsprincip beskriver att både rörelsemängden och positionen hos en partikel inte kan vara kända med hur stor säkerhet som helst. Följande olikhet gäller:.